Exercice 12, § 3

Soient X un espace topologique, Y, Z deux espaces uniformes, $\mathfrak{S}$ un ensemble de parties de X, $\mathfrak{L}$ un ensemble de parties de Y.

a) Soit $u_0 \in \mathscr{C}(X; Y)$. Montrer que si, pour toute partie $A \in \mathfrak{S}$, $u_0(A)$ est contenu dans un ensemble $B \in \mathscr{E}$, alors l’application $v \mapsto v \circ u_0$ de $\mathscr{C}_x(Y; Z)$ dans $\mathscr{C}_e(X; Z)$ est continue.

b) Soit $H$ un sous-espace de $\mathscr{C}_e(X; Y)$, et soit $v_0 \in \mathscr{C}(Y; Z)$. Montrer que si, pour toute partie $A \in \mathfrak{S}$, $v_0$ est uniformément continue dans $H(A)$, l’application $u \mapsto v_0 \circ u$ de $H$ dans $\mathscr{C}_e(X; Z)$ est continue.

c) Soient $u_0 \in \mathscr{C}(X; Y)$, $v_0 \in \mathscr{C}(Y; Z)$. On suppose que pour tout $A \in \mathfrak{S}$, il existe $B \in \mathscr{E}$ et un entourage $V$ de $Y$ tels que: 1° $V(u_0(A)) \subset B$; 2° $v_0$ est uniformément continue dans $B$. Alors, l’application $(u, v) \mapsto v \circ u$ de $\mathscr{C}_e(X; Y) \times \mathscr{C}_x(Y; Z)$ dans $\mathscr{C}_e(X; Z)$ est continue au point $(u_0, v_0)$. En particulier, l’application $(u, v) \mapsto v \circ u$ de $\mathscr{C}_u(X; Y) \times \mathscr{C}_u(Y; Z)$ dans $\mathscr{C}(X; Z)$ est continue en tout point $(u_0, v_0)$ tel que $v_0$ soit uniformément continue dans $Y$.

d) Soit $v_0$ l’homéomorphisme $x \mapsto x^3$ de $\mathbf{R}$ sur lui-même. Montrer que l’application $u \mapsto v_0 \circ u$ de $\mathscr{C}_u(\mathbf{R}; \mathbf{R})$ dans lui-même n’est pas continue en certains points.