Bài tập 12, § 3

Cho X là một không gian tôpô, Y và Z là hai không gian đều, $\mathscr{S}$ là một tập hợp các tập con của X và $\mathscr{T}$ là một tập hợp các tập con của Y.

a) Cho $u_0 \in \mathscr{C}(X; Y)$. Chứng minh rằng nếu, với mỗi $A \in \mathscr{S}$, $u_0(A)$ được chứa trong một tập nào đó của $\mathscr{T}$, thì ánh xạ $v \to v \circ u_0$ của $\mathscr{C}_{\mathscr{T}}(Y; Z)$ vào $\mathscr{C}_{\mathscr{S}}(X; Z)$ là liên tục.

b) Cho H là một không gian con của $\mathscr{C}_{\mathscr{S}}(X; Y)$ và cho $v_0 \in \mathscr{C}(Y; Z)$. Chứng minh rằng nếu $v_0$ liên tục đều trên $H(A)$ với mọi $A \in \mathscr{S}$, thì ánh xạ $u \to v_0 \circ u$ của H vào $\mathscr{C}_{\mathscr{S}}(X; Z)$ là liên tục.

c) Cho $u_0 \in \mathscr{C}(X; Y)$ và cho $v_0 \in \mathscr{C}(Y; Z)$. Giả sử rằng, với mỗi $A \in \mathscr{S}$, tồn tại $B \in \mathscr{T}$ và một lân cận V của Y thỏa mãn các điều kiện: (i) $V(u_0(A)) \subset B$, (ii) $v_0$ liên tục đều trên B. Khi đó ánh xạ $(u, v) \to v \circ u$ của $\mathscr{C}_{\mathscr{S}}(X; Y) \times \mathscr{C}_{\mathscr{T}}(Y; Z)$ vào $\mathscr{C}_{\mathscr{S}}(X; Z)$ là liên tục tại $(u_0, v_0)$. Đặc biệt, ánh xạ $(u, v) \to v \circ u$ của $\mathscr{C}_u(X; Y) \times \mathscr{C}_u(Y; Z)$ vào $\mathscr{C}_u(X; Z)$ là liên tục tại mọi điểm $(u_0, v_0)$ sao cho $v_0$ liên tục đều trên Y.

d) Cho $v_0$ là phép đồng phôi $x \to x^3$ của $\mathbf{R}$ lên chính nó. Chứng minh rằng ánh xạ $u \to v_0 \circ u$ của $\mathscr{C}_u(\mathbf{R}; \mathbf{R})$ vào chính nó không liên tục tại mọi điểm.