Exercice 13, § 3

Soient $X, Y, Z$ trois espaces topologiques séparés. a) Montrer que quels que soient $u_0 \in \mathscr{C}(X; Y)$ et $v_0 \in \mathscr{C}(Y; Z)$, les applications $v \mapsto v \circ u_0$ de $\mathscr{C}_c(Y; Z)$ dans $\mathscr{C}_c(X; Z)$ et $u \mapsto v_0 \circ u$ de $\mathscr{C}_c(X; Y)$ dans $\mathscr{C}_c(X; Z)$ sont continues.

b) On suppose que tout point de $Y$ (resp. $Z$) admet un système fondamental dénombrable de voisinages, et qu’il existe dans $X$ une partie dénombrable dense. Soit $H$ une partie compacte de $\mathscr{C}_c(X; Y)$; montrer que l’application $(u, v) \mapsto v \circ u$ de $H \times \mathscr{C}_c(Y; Z)$ dans $\mathscr{C}_c(X; Z)$ est continue. (On prouvera d’abord que pour toute partie compacte $K$ de $X$, $H(K)$ est une partie compacte de $Y$, en utilisant $X$, p. 48, exerc. 7 et $X$, p. 49, exerc. 9 a)).

c) Montrer que l’application $(u, v) \mapsto v \circ u$ de $\mathscr{C}_c(\mathbf{Q}; \mathbf{Q}) \times \mathscr{C}_c(\mathbf{Q}; \mathbf{Q})$ dans $\mathscr{C}_c(\mathbf{Q}; \mathbf{Q})$ n’est continue en aucun point.