Bài tập 13, § 3

Cho X, Y, Z là ba không gian tôpô Hausdorff.

a) Chứng minh rằng với mọi $u_0 \in \mathscr{C}(X; Y)$ và mọi $v_0 \in \mathscr{C}(Y; Z)$, các ánh xạ $v \to v \circ u_0$ của $\mathscr{C}_c(Y; Z)$ vào $\mathscr{C}_c(X; Z)$ và $u \to v_0 \circ u$ của $\mathscr{C}_c(X; Y)$ vào $\mathscr{C}_c(X; Z)$ là liên tục.

b) Giả sử rằng mọi điểm của Y (tương ứng Z) có một hệ lân cận cơ bản đếm được và X có một tập con trù mật đếm được. Cho H là một tập con compact của $\mathscr{C}_c(X; Y)$. Chứng minh rằng ánh xạ $(u, v) \to v \circ u$ của $H \times \mathscr{C}_c(Y; Z)$ vào $\mathscr{C}_c(X; Z)$ là liên tục. [Bắt đầu bằng cách chứng minh rằng nếu K là một tập con compact bất kỳ của X, thì H(K) là một tập con compact của Y, bằng cách sử dụng các Bài tập 7 và 9 a).]

c) Chứng minh rằng ánh xạ $(v, v) \to v \circ u$ của $\mathscr{C}_c(\mathbf{Q}; \mathbf{Q}) \times \mathscr{C}_c(\mathbf{Q}; \mathbf{Q})$ vào $\mathscr{C}_c(\mathbf{Q}; \mathbf{Q})$ không liên tục tại bất kỳ điểm nào.