Exercice 14, § 3

Soit $\Gamma$ le groupe des homéomorphismes du plan numérique $\mathbf{R}^2$, muni de la topologie de la convergence simple. Montrer que l’application $(u, v) \mapsto v \circ u$ de $\Gamma \times \Gamma$ dans $\Gamma$ n’est pas continue. (D’une part considérer une suite d’homéomorphismes $(v_n)$ telle que $v_n$ laisse invariant tout point $(x, y)$ pour lequel $y$ n’appartienne pas à l’intervalle $[1/(n+1), 1/n]$, et que la restriction de $v_n$ à la droite $y = 2/(2n+1)$ soit la translation $(x, y) \mapsto (x+1, y)$; d’autre part, considérer la suite $(u_n)$ des translations