Bài tập 14, § 3

Cho $\Gamma$ là nhóm gồm tất cả các phép đồng phôi của mặt phẳng thực $\mathbf{R}^2$, được trang bị tôpô hội tụ điểm. Chứng minh rằng ánh xạ $(u, v) \to v \circ u$ của $\Gamma \times \Gamma$ vào $\Gamma$ không liên tục. [Xét một dãy các phép đồng phôi $(v_n)$ sao cho $v_n$ giữ nguyên mọi điểm $(x, y)$ mà $y \in [1/(n+1), 1/n]$, và sao cho hạn chế của $v_n$ lên đường thẳng $y = 2/(2n + 1)$ là phép tịnh tiến $(x, y) \to (x + 1, y)$; mặt khác, xét dãy $(u_n)$ gồm các phép tịnh tiến