Exercice 18, § 3

Soient $X$ un espace localement compact, muni d’une structure uniforme compatible avec sa topologie, et soit $\Gamma$ le groupe des homéomorphismes de $X$. Pour tout entourage $V$ de $X$ et toute partie compacte $K$ de $X$, soit $G(K, V)$ l’ensemble des couples $(u, v)$ d’homéomorphismes de $X$ satisfaisant aux relations $(u(x), v(x)) \in V$ et $(u^{-1}(x), v^{-1}(x)) \in V$ pour tout $x \in K$. a) Montrer que les ensembles $G(K, V)$ forment un système fondamental d’entourages d’une structure uniforme $\mathscr{U}$ sur $\Gamma$, et que la topologie déduite de cette structure uniforme est la topologie $\mathscr{T}_\beta$ définie dans $X$, p. 31. b) Montrer que lorsque $X$ est complet pour la structure uniforme considérée, $\Gamma$ est complet pour la structure uniforme $\mathscr{U}$. c) Montrer que $\Gamma$ est complet pour la structure uniforme bilatère déduite de la topologie $\mathscr{T}_\beta$ (utiliser l’exerc. 16 c). d) On prend pour $X$ le sous-espace localement compact de $\mathbf{R}$ formé de points de la forme $n + 2^{-m}$ ($n \in \mathbf{Z}, m$ entier $\geqslant 1$). Montrer que sur le groupe $\Gamma$, ni la structure $\mathscr{U}$ ni la structure uniforme de la convergence compacte ne sont comparables à aucune des trois structures uniformes droite, gauche et bilatère déduites de la topologie de groupe $\mathscr{T}_\beta$.