Bài tập 18, § 3

Cho $X$ là một không gian compact địa phương được trang bị một cấu trúc đều tương thích với tôpô của nó, và cho $\Gamma$ là nhóm các đồng phôi của $X$. Với mỗi lân cận đều $V$ của $X$ và mỗi tập con compact $K$ của $X$, ký hiệu $G(K, V)$ là tập hợp các cặp $(u, v)$ gồm các đồng phôi của $X$ sao cho $(u(x), v(x)) \in V$ và $(u^{-1}(x), v^{-1}(x)) \in V$ với mọi $x \in K$.

a) Chứng minh rằng các tập hợp $G(K, V)$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận đều của một cấu trúc đều $\mathscr{U}$ trên $\Gamma$ và rằng tôpô cảm sinh bởi cấu trúc đều này là tôpô $\mathscr{T}_\beta$ được định nghĩa trong no. 5.

b) Chứng minh rằng nếu $X$ là đầy đủ đối với cấu trúc đều của nó, thì $\Gamma$ là đầy đủ đối với cấu trúc đều $\mathscr{U}$.

c) Chứng minh rằng $\Gamma$ là đầy đủ đối với cấu trúc đều hai phía được xác định bởi tôpô $\mathscr{T}_\beta$ [dùng Bài tập 16 c)].

d) Lấy $X$ là không gian con compact địa phương của $\mathbf{R}$ gồm các điểm có dạng $n + 2^{-m}$ ($n \in \mathbf{Z}$, $m$ là một số nguyên $\geqslant 1$). Chứng minh rằng trên nhóm $\Gamma$ cả cấu trúc đều $\mathscr{U}$ lẫn cấu trúc đều hội tụ compact đều không so sánh được với bất kỳ cấu trúc đều nào trong ba cấu trúc đều (trái, phải và hai phía) được xác định bởi tôpô $\mathscr{T}_\beta$.