Exercice 20, § 3

Soit X le sous-espace localement compact de $\mathbf{R}^2$ formé des droites d’équation $y = 0$ et $y = 1/n$ ($n \geq 1$), et soit G le sous-groupe du groupe des homéomorphismes u de X tels que la restriction de u à chacune des droites $y = 0, y = 1/n$ soit une translation de la forme $(x, y) \mapsto (x + a_y, y)$. Montrer que G vérifie les conditions du th. 4 de X, p. 32, mais que sur G les topologies de la convergence compacte et de la convergence simple sont distinctes.