Exercice 24, § 3

Soient $X$ un espace localement compact, $T$ un groupe d’homéomorphismes de $X$, $\mathscr{T}$ une topologie localement compacte sur $T$, plus fine que la topologie de la convergence simple et pour laquelle la propriété (A) de $X$, p. 52, exerc. 21 est vérifiée. Montrer que l’application $(u, x) \mapsto u(x)$ de $T \times X$ dans $X$ est continue pour $\mathscr{T}$. (Prolonger les homéomorphismes de $T$ en homéomorphismes du compactifié d’Alexandroff $X'$ de $X$; puis montrer que le résultat de l’exerc. 23 est applicable, en utilisant l’exerc. 22 d)).