Exercice 28, § 3

Soient G un groupe topologique, X l’espace de Banach des applications continues bornées de G dans $\mathbf{C}$, muni de la norme $\|f\| = \sup_{s \in G} |f(s)|$. Pour tout fonction $f \in X$ et tout $s \in G$, on désigne par $U_s f$ la fonction $t \mapsto f(s^{-1}t)$ qui appartient à X, de sorte que les $U_s$, où s parcourt G, forment un groupe d’isométries $G'$ de X. On dit qu’un élément $f \in X$ est une fonction presque périodique (à gauche) dans G si $f$ est un élément presque périodique de X pour le groupe $G'$. Il faut et il suffit pour cela que, pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un nombre fini d’éléments $s_i \in G$ tels que pour tout $s \in G$, il existe au moins un indice i tel que

pour tout $t \in G$.

a) On suppose $f$ presque périodique. Soit Y l’adhérence dans X de l’orbite de $f$ pour $G'$ et soit $\Gamma$ l’adhérence dans $\mathscr{C}_u(Y; Y)$ de l’ensemble des restrictions $V_s$ à Y des $U_s$, pour $s \in G$. Pour tout $\sigma \in \Gamma$, soit $f_\sigma \in Y$ l’image de $f$ par $\sigma$; pour tout $s \in G$, on a $f_\sigma(t) = U_s^{-1} f_\sigma(s^{-1}t)$; en déduire qu’il existe une fonction continue $\tilde{f}$ sur $\Gamma$ telle que $f(s) = \tilde{f}(V_s)$ (utiliser l’exerc. 27 c)).

b) Montrer, en utilisant a), que pour qu’une fonction $f \in X$ soit presque périodique dans G, il faut et il suffit qu’elle soit de la forme $g \circ \varphi$, où $\varphi$ est l’application canonique de G dans le groupe compact $G^c$ associé à G (E, IV, p. 27, Exemple 8) et $g$ une application continue de $G^c$ dans $\mathbf{C}$.

c) On prend pour G le groupe additif $\mathbf{R}$. Montrer que si $f$ est presque périodique dans $\mathbf{R}$, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un nombre $T > 0$ tel que tout intervalle de $\mathbf{R}$ de longueur $T$ contienne un s tel que $|f(s + x) - f(x)| \leq \varepsilon$ pour tout $x \in \mathbf{R}$ (s est dite « presque-période à $\varepsilon$ près » de $f$). (Utiliser b) et la démonstration de V, p. 15, exerc. 2).