Bài tập 28, § 3

Cho G là một nhóm tôpô và cho X là không gian Banach của các ánh xạ liên tục bị chặn của G vào $\mathbf{C}$ được trang bị chuẩn

Với mỗi $f \in X$ và mỗi $s \in G$, gọi $U_s f$ là hàm $t \to f(s^{-1}t)$, thuộc X, sao cho các $U_s$, khi s chạy qua G, tạo thành một nhóm các đẳng cự $G'$ của X. Một phần tử $f \in X$ được gọi là một hàm gần tuần hoàn (bên trái) trên G nếu f là một phần tử gần tuần hoàn của X đối với nhóm $G'$. Để điều này xảy ra, điều kiện cần và đủ là, với mỗi $\varepsilon > 0$, tồn tại một số hữu hạn các phần tử $s_i \in G$ có tính chất rằng, với mỗi $s \in G$, có ít nhất một chỉ số i sao cho $|f(s^{-1}t) - f(s_i^{-1}t)| \leq \varepsilon$ với mọi $t \in G$.

a) Giả sử rằng f là tuần hoàn gần. Cho Y là bao đóng trong X của quỹ đạo của f dưới $G'$, và cho $\Gamma$ là bao đóng trong $C_u(Y; Y)$ của tập hợp các hạn chế $V_s$ của các $U_s$ lên Y ($s \in G$). Với mỗi $\sigma \in \Gamma$, cho $f_\sigma \in Y$ là ảnh của f qua $\sigma$. Với mỗi $s \in G$, ta có

Suy ra rằng có một hàm liên tục $\bar{f}$ trên $\Gamma$ sao cho $f(s) = \bar{f}(V_s)$ [dùng Bài tập 27 c)].

b) Dùng a) để chứng minh rằng một hàm $f \in X$ là tuần hoàn gần trên G khi và chỉ khi nó có dạng $g \circ \varphi$, trong đó $\varphi$ là ánh xạ chính tắc của G vào nhóm compact $G^c$ liên kết với G (Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 3, no. 3, Ví dụ 8) và g là một ánh xạ liên tục từ $G^c$ vào $\mathbf{C}$.

c) Lấy G là nhóm cộng $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng nếu f là tuần hoàn gần trên $\mathbf{R}$, thì với mỗi $\varepsilon > 0$ tồn tại một số thực T > 0 sao cho mọi khoảng của $\mathbf{R}$ có độ dài T đều chứa một số s sao cho

(s được gọi là một “ε-chu kỳ” của f). [Dùng b) và Bài tập 2 của Chương V, § 1.]