Exercice 5, § 3

Soit $X$ un espace complètement régulier. a) Pour que tout point de l’espace $\mathscr{C}_c(X; \mathbf{R})$ ait un système fondamental dénombrable de voisinages, il est nécessaire qu’il existe dans $X$ une suite croissante $(K_n)$ d’ensembles compacts telle que toute partie compacte de $X$ soit contenu dans un des $K_n$. Pour tout espace métrisable $Y$, $\mathscr{C}_c(X; Y)$ est alors métrisable. b) Pour que $\mathscr{C}_c(X; \mathbf{R})$ soit métrisable et de type dénombrable, il faut et il suffit que les sous-espaces compacts $K_n$ soient métrisables (utiliser l’exerc. 4). Pour tout espace $Y$ métrisable et de type dénombrable, $\mathscr{C}_c(X; Y)$ est alors métrisable et de type dénombrable.