Bài tập 5, § 3

Cho $X$ là một không gian hoàn toàn chính quy. a) Nếu mọi điểm của không gian $\mathscr{C}_c(X; \mathbf{R})$ có một hệ cơ sở lân cận đếm được, thì tồn tại một dãy tăng $(K_n)$ các tập con compact của $X$ sao cho mọi tập con compact của $X$ được chứa trong một $K_n$ nào đó; và khi đó $\mathscr{C}_c(X; Y)$ là mêtric hóa được với mọi không gian mêtric hóa được $Y$. b) $\mathscr{C}_c(X; \mathbf{R})$ là mêtric hóa được và có kiểu đếm được khi và chỉ khi mọi không gian con compact $K_n$ đều là mêtric hóa được (dùng Bài tập 4). Với mọi không gian mêtric hóa được $Y$ có kiểu đếm được, khi đó $\mathscr{C}_c(X; Y)$ là mêtric hóa được và có kiểu đếm được.