Exercice 6, § 3

a) Soient $X, Y$ deux espaces topologiques admettant chacun une base dénombrable d’ouverts pour leur topologie. Sur l’ensemble $\mathscr{C}(X; Y)$ des applications continues de $X$ dans $Y$, on considère la topologie engendrée par les ensembles $T(U_m, V_n)$ (ensemble des $f \in \mathscr{C}(X; Y)$ telles que $f(U_m) \subset V_n$) où $(U_m)$ parcourt une base de $X$ et $V_n$ une base de $Y$. Montrer que pour cette topologie, l’application $(u, x) \mapsto u(x)$ de $\mathscr{C}(X; Y) \times X$ dans $Y$ est continue, et par suite que cette topologie est plus fine que la topologie de la convergence compacte. b) En déduire que sous les hypothèses de a), pour toute topologie sur $\mathscr{C}(X; Y)$ moins fine que la topologie de la convergence compacte, tout sous-espace de $\mathscr{C}(X; Y)$ est un espace de Lindelöf et il existe dans ce sous-espace une partie dénombrable partout dense. Si de plus $Y$ est métrisable, tout sous-espace de $\mathscr{C}_c(X; Y)$ ou de $\mathscr{C}_s(X; Y)$ est paracompact (IX, p. 76, prop. 2). c) Soient $I$ l’intervalle $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$, $L$ la demi-droite d’Alexandroff (IV, p. 49, exerc. 12). Montrer que l’espace $\mathscr{C}_c(I; L)$ n’est pas paracompact. (Il suffit de considérer le sous-espace fermé $M$ des $f \in \mathscr{C}_c(I; L)$ telles que $f(0) = 0$. Pour tout ordinal $\alpha < \omega_1$, soit $U_\alpha$ l’ensemble ouvert dans $M$ formé des $f$ telles que $f(I) \subset (0, \alpha[$; les $U_\alpha$ constituent un recouvrement ouvert de $M$. Raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe un recouvrement localement fini $\mathscr{R}$ de $M$ plus fin que celui des $U_\alpha$; en utilisant le fait que dans $L$ tout intervalle compact $[0, \beta)$ ($\beta < \omega_1$) est homéomorphe à $I$, définir par récurrence une suite $(f_n)$ de fonctions de $M$, une suite strictement croissante $(\alpha(n))$ d’ordinaux $< \omega_1$ et une suite $(V_n)$ d’ouverts appartenant à $\mathscr{R}$, telles que l’on ait $f_{n+1}(1) > \alpha(n), f_{n+1}(t) \geq f_n(t)$ dans $I, f_{n+1}(t) = f_n(t)$ pour $0 \leq t \leq 1 - 1/n$, et enfin $f_{n+1} \in V_{n+1} \subset U_{\alpha(n+1)}$. Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément dans $I$ vers une fonction $g$, et en déduire une contradiction.)