Bài tập 6, § 3

a) Cho $X$ là một không gian tôpô, $Y$ là một không gian metric, $d$ là metric trên $Y$, $n$ là một số nguyên $> 0$ và $S$ là một tập con của không gian $X^n \times Y^n \times \mathbf{R}_+^*$. Với mỗi điểm $z = ((x_i), (y_i), r) \in S$, gọi $U_z$ là tập con mở của $\mathscr{C}_s(X; Y)$ gồm các ánh xạ liên tục $f$ từ $X$ vào $Y$ sao cho $d(f(x_i), y_i) < r$ với $1 \leq i \leq n$. Chứng minh rằng, nếu D là một tập con trù mật của S, ta có $\bigcup_{z \in S} U_z = \bigcup_{z \in D} U_z$.

b) Suy ra từ a) rằng nếu các tôpô của X và Y có các cơ sở đếm được, thì mọi không gian con của $\mathscr{C}_s(X; Y)$ là một không gian Lindelöf (Chương I, § 9, Bài tập 15) và do đó là paracompact (Chương IX, § 4, Bài tập 23).