Exercice 7, § 3

Soient $X$ un espace contenant une partie dénombrable dense, $Y$ un espace séparé dont tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages (resp. un espace métrisable), $H$ une partie de $\mathscr{C}(X; Y)$. Montrer que si $\mathscr{T}$ est une topologie sur $H$ plus fine que la topologie de la convergence simple dans $X$, pour laquelle $H$ est compact, alors tout point de $H$ admet un système fondamental dénombrable de voisinages pour $\mathscr{T}$ (resp. $\mathscr{T}$ est métrisable). (Remarquer que pour toute partie partout dense $D$ de $X$, la topologie $\mathscr{T}$ est plus fine que la topologie de la convergence simple dans $D$ et que cette dernière est séparée.)