Bài tập 7, § 3

Cho X là một không gian có một tập con đếm được trù mật, cho Y là một không gian Hausdorff trong đó mỗi điểm có một hệ cơ sở lân cận đếm được (tương ứng là một không gian mêtric hóa được) và cho H là một tập con của $\mathscr{C}(X; Y)$. Chứng minh rằng nếu $\mathscr{T}$ là một tôpô trên H mịn hơn tôpô hội tụ điểm trong X và theo đó H là compact, thì mọi điểm của H có một hệ cơ sở lân cận đếm được trong tôpô $\mathscr{T}$ (tương ứng $\mathscr{T}$ là mêtric hóa được). (Chú ý rằng nếu D là một tập con đếm được trù mật bất kỳ của X, thì tôpô $\mathscr{T}$ mịn hơn tôpô hội tụ điểm trong D và tôpô sau là Hausdorff.)