Exercice 8, § 3

a) Soit $f$ l’application continue $(x, y) \mapsto xy$ de $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$. Montrer que l’application $x \mapsto f(x,.)$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathscr{C}_u(\mathbf{R}, \mathbf{R})$ n’est pas continue. b) Soient $X, Y$ deux espaces topologiques, $Z$ un espace uniforme, $f$ une application de $X \times Y$ dans $Z$; montrer que si, pour tout $x \in X, f(x,.)$ est continue dans $Y$ et si l’application $x \mapsto f(x,.)$ de $X$ dans $\mathscr{C}_u(Y; Z)$ est continue, alors $f$ est continue dans $X \times Y$.

EXERCICES

TG X.49