Exercice 9, § 3

a) Soient X, Y, Z trois espaces topologiques; on suppose que X et Y sont séparés et que tout point de chacun de ces espaces admet un système fondamental dénombrable de voisinages. Soit f une application de $X \times Y$ dans Z telle que, pour tout $x \in X, f(x,.)$ soit continue dans Y et que l’application $x \mapsto f(x,.)$ de X dans $C_c(Y; Z)$ soit continue. Montrer que f est continue dans $X \times Y$ (cf. X, p. 9, cor. 3).

b) Montrer que la conclusion de a) subsiste lorsqu’on remplace l’hypothèse sur X par l’hypothèse que X est localement compact et que Z est un espace uniforme (utiliser l’exerc. 2 de X, p. 43 et le th. d’Ascoli) (cf. exerc. 11 b)).