Bài tập 9, § 3

a) Cho X, Y, Z là ba không gian tôpô. Giả sử rằng X và Y là Hausdorff và rằng mọi điểm của mỗi không gian này đều có một hệ cơ bản đếm được các lân cận. Cho f là một ánh xạ từ $X \times Y$ vào Z sao cho $f(x, .)$ liên tục trên Y với mỗi $x \in X$ và sao cho ánh xạ $x \to f(x, .)$ từ X vào $\mathscr{C}_c(Y; Z)$ là liên tục. Chứng minh rằng f liên tục trên $X \times Y$ (xem § 1, no. 6, Định lý 2, Hệ quả 3).

b) Chứng minh rằng kết luận của a) vẫn đúng khi giả thiết trên X được thay thế bởi giả thiết rằng X là địa phương compact và Z là một không gian đều (dùng § 2, Bài tập 2, và định lý Ascoli) [xem Bài tập 11 b)].