Exercice 14, § 4

Soit $X$ un espace topologique. Pour toute fonction $u \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ telle que $u(x) > 0$ pour tout $x \in X$, soit $V_u$ l’ensemble des fonctions $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ telles que $|f| \leq u$. a) Montrer que les $V_u$ sont les voisinages de 0 dans $A = \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ pour une topologie séparée $\mathscr{T}$ compatible avec la structure d’anneau de $A$. b) La topologie induite par $\mathscr{T}$ sur $\mathscr{C}^0(X; \mathbf{R})$ est plus fine que la topologie de la convergence uniforme dans $X$; pour que ces deux topologies soient identiques, il faut et il suffit que $X$ soit weierstrassien (IX, p. 88, exerc. 20). Si $X$ n’est pas weierstrassien, la topologie induite par $\mathscr{T}$ sur l’ensemble des fonctions constantes est la topologie discrète, de sorte que $\mathscr{T}$ n’est pas compatible avec la structure d’espace vectoriel (sur $\mathbf{R}$) de $A$. c) Montrer que pour la topologie $\mathscr{T}$, $A$ est un anneau de Gelfand (III, p. 81, exerc. 11).