Bài tập 14, § 4

Cho $X$ là một không gian tôpô. Với mỗi hàm $u \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ sao cho $u(x) > 0$ với mọi $x \in X$, đặt $V_u$ là tập hợp tất cả các $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ sao cho $|f| \leq u$.

a) Chứng minh rằng các tập hợp $V_u$ là các lân cận của $0$ trong $A = \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ đối với một tôpô Hausdorff $\mathscr{T}$ tương thích với cấu trúc vành của $A$.

b) Tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{T}$ trên $\mathscr{C}^\infty(X; \mathbf{R})$ mịn hơn tôpô của sự hội tụ đều trong $X$. Hai tôpô này trùng nhau khi và chỉ khi $X$ là giả compact (Chương IX, § 1, Bài tập 21). Nếu $X$ không giả compact, tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{T}$ trên tập hợp các hàm hằng là tôpô rời rạc, do đó $\mathscr{T}$ không tương thích với cấu trúc không gian $\mathbf{R}$-vectơ của $A$.

c) Chứng minh rằng $A$ là một vành Gelfand đối với tôpô $\mathscr{T}$ (Chương III, § 6, Bài tập 11).