Exercice 17, § 4

Les hypothèses et notations sont celles de l’exerc. 15 (X, p. 58).

a) Pour qu’un idéal maximal $\mathscr{F}(x)$ soit réel, il faut et il suffit que pour toute suite infinie $(g_n)$ d’éléments de $\mathscr{F}(x)$, l’intersection des ensembles $g_n^{-1}(0)$ soit non vide. (Utiliser l’exerc. 16 b); pour voir que la condition est nécessaire, montrer que si l’intersection des $g_n^{-1}(0)$ est vide, la fonction $f(y) = \sum_{n=0}^\infty \inf(g_n(y), 2^{-n})$ est continue, inversible dans $A$ et tend vers 0 lorsque $y$ tend vers $x$ en restant dans $X$; on notera que $f(y) \leq 2^{-m}$ dans l’intersection des $g_k^{-1}(0)$ pour $k \leq m$, et on utilisera l’exerc. 15 a) (X, p. 58) et le fait que les $V(g)$, où $g \in \mathscr{F}(x)$, forment un système fondamental de voisinages de $x$ dans $\beta X$.

b) On dit que $X$ est replet si les seuls idéaux maximaux réels $\mathscr{F}(x)$ sont ceux pour lesquels $x \in X$. Montrer que tout espace de Lindelöf (IX, p. 75) complètement régulier est replet (utiliser a)). Un espace complètement régulier weierstrassien n’est replet que s’il est compact.

c) Soit $\upsilon X$ l’ensemble des $x \in \beta X$ tels que $\mathscr{F}(x)$ soit réel; montrer que toute fonction numérique $f \in A$ peut être prolongée par continuité à $\upsilon X$, de sorte que $C(X; \mathbf{R})$ et $C(\upsilon X; \mathbf{R})$ peuvent être canoniquement identifiés. Prouver que le sous-espace $\upsilon X$ de $\beta X$ est replet (remarquer que si $f$ est inversible dans $C(X; \mathbf{R})$, son prolongement par continuité à $\upsilon X$ est inversible dans $C(\upsilon X; \mathbf{R})$, et que l’on a $\beta(\upsilon X) = \beta X$); on dit que $\upsilon X$ est la replétion de $X$. Pour que $\beta X = \upsilon X$, il faut et il suffit que $X$ soit weierstrassien.

d) Montrer que $\upsilon X$ est l’espace complété de $X$ lorsque $X$ est muni de la structure uniforme la moins fine rendant uniformément continues toutes les fonctions $f \in A$. (Remarquer qu’un filtre de Cauchy $\mathscr{F}$ sur $X$ pour cette structure uniforme converge vers un point $x \in \beta X$; si $x$ n’appartenait pas à $\upsilon X$, il existerait une fonction $f \in A$ non bornée dans un ensemble de $\mathscr{F}$).

e) Déduire de d) que pour toute application continue $u : X \to Y$ d’un espace complètement régulier $X$ dans un espace replet $Y$, $u$ peut être prolongée par continuité en une application de $\upsilon X$ dans $Y$. L’espace $\upsilon X$ est donc solution d’un problème d’application universelle où $\Sigma$ est la structure d’espace replet, les $\alpha$-applications et les morphismes étant les applications continues (E, IV, p. 22).

f) Montrer que tout sous-espace fermé d’un espace replet est replet; tout produit d’espaces replets est replet; dans un espace séparé, toute intersection de sous-espaces replets est un sous-espace replet. (Pour prouver par exemple qu’un sous-espace fermé $X$ d’un espace replet $Y$ est replet, considérer l’extension $\bar{j}$ à $\upsilon X$ de l’injection canonique $j : X \to Y$, et remarquer que $\bar{j}^{-1}(X) = X$; en déduire que $X$ est fermé dans $\upsilon X$. Raisonnements analogues dans les deux autres cas).

g) Déduire de b), d) et f) que pour qu’un espace complètement régulier soit replet, il faut et il suffit qu’il soit homéomorphe à un sous-espace fermé d’un espace produit $\mathbf{R}^l$.