Bài tập 17, § 4

Ta giữ lại các giả thiết và ký hiệu của Bài tập 15.

a) Một iđêan cực đại $\mathfrak{J}(x)$ là thực khi và chỉ khi, với mọi dãy vô hạn $(g_n)$ các phần tử của $\mathfrak{J}(x)$, giao của các tập hợp $\overline{g_n}(0)$ là không rỗng. [Dùng Bài tập 16 b); để chỉ ra rằng điều kiện là cần thiết, chứng minh rằng, nếu $\bigcap_n \overline{g_n}(0) = \varnothing$, hàm $f(y) = \sum_{n=0}^\infty \inf (g_n(y), 2^{-n})$ là liên tục, là một phần tử khả nghịch trong $A$ và tiến tới 0 khi $y$ tiến tới $x$ trong khi vẫn thuộc $X$; chú ý rằng $f(y) \leq 2^{-m}$ đối với $y \in \bigcap_{k \leq m} \overline{g_k}(0)$, và dùng Bài tập 15 a) cùng với sự kiện rằng các $V(g)$, với $g \in \mathfrak{J}(x)$, tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của $x$ trong $\beta X$.]

b) $X$ được gọi là thực-compact nếu các iđêan cực đại thực $\mathfrak{J}(x)$ duy nhất là những iđêan mà $x \in X$. Chứng minh rằng mọi không gian Lindelöf chính quy hoàn toàn (Chương I, § 9, Bài tập 15) đều là thực-compact [dùng a)]. Một không gian giả-compact chính quy hoàn toàn không là thực-compact trừ khi nó là compact.

c) Gọi $\nu X$ là tập hợp tất cả các $x \in \beta X$ sao cho $\mathfrak{J}(x)$ là thực. Chứng minh rằng mọi hàm liên tục nhận giá trị thực $f \in A$ có thể được mở rộng bằng tính liên tục tới $\upsilon X$, sao cho $C(X; \mathbf{R})$ và $C(\upsilon X; \mathbf{R})$ có thể được đồng nhất một cách chính tắc. Chứng minh rằng không gian con $\upsilon X$ của $\beta X$ là thực-compact [chú ý rằng nếu $f$ là một phần tử khả nghịch trong $C(X; \mathbf{R})$, thì phần mở rộng liên tục của nó tới $\upsilon X$ là một phần tử khả nghịch trong $C(\upsilon X; \mathbf{R})$ và rằng $\beta(\upsilon X) = \beta X$]. $\upsilon X$ được gọi là compact hóa thực của $X$.

d) Chứng minh rằng $\upsilon X$ là sự hoàn thành của $X$ đối với cấu trúc đều nhỏ nhất trên $X$ sao cho tất cả các hàm $f \in A$ đều liên tục đều. (Chú ý rằng một lọc Cauchy $\mathfrak{F}$ trên $X$ đối với cấu trúc đều này hội tụ tới một điểm $x \in \beta X$; nếu $x \notin \upsilon X$, thì sẽ tồn tại một hàm $f \in A$ không bị chặn trên một tập hợp của $F$.)

e) Suy ra từ $d$) rằng nếu $u : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục bất kỳ của một không gian chính quy hoàn toàn $X$ vào một không gian thực-compact $Y$, thì $u$ có thể được mở rộng bằng tính liên tục thành một ánh xạ $\upsilon X \to Y$. Không gian $\upsilon X$ do đó là nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát trong đó $\Sigma$ là cấu trúc của một không gian thực-compact, và các ánh xạ $\alpha$ và các cấu xạ là các ánh xạ liên tục (Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 3, no. 1).

f) Chứng minh rằng mọi không gian con đóng của một không gian thực-compact là thực-compact, rằng mọi tích của các không gian thực-compact là thực-compact, và trong một không gian Hausdorff, mọi giao của các không gian con thực-compact là thực-compact. [Chẳng hạn, để chứng minh rằng một không gian con đóng $X$ của một không gian thực-compact $Y$ là thực-compact, hãy xét mở rộng $\bar{j}$ lên $\upsilon X$ của đơn ánh chính tắc $j : X \to Y$, và chú ý rằng $\bar{j}^{-1}(X) = X$; suy ra rằng $X$ là đóng trong $\upsilon X$. Các chứng minh tương tự trong hai trường hợp còn lại.]

g) Suy ra từ $b$), $d$) và $f$) rằng một không gian hoàn toàn chính quy là thực-compact khi và chỉ khi nó đồng phôi với một không gian con đóng của một tích $\mathbf{R}^l$.