Exercice 18, § 4

Soit $X$ un espace replet.

a) Montrer que pour tout homomorphisme $u$ de l’algèbre $C(X; \mathbf{R})$ dans $\mathbf{R}$, non identiquement nul, il existe un point $x \in X$ et un seul tel que $u(f) = f(x)$ pour tout $f \in C(X; \mathbf{R})$.

b) Soit $Y$ un second espace replet. Montrer que pour tout homomorphisme de $\mathbf{R}$-algèbres $v : C(Y; \mathbf{R}) \to C(X; \mathbf{R})$ transformant l’élément unité en élément unité, il existe une application continue $\omega : X \to Y$ et une seule telle que $v(g) = g \circ w$ (utiliser a)). En particulier, pour que $C(X; \mathbf{R})$ et $C(Y; \mathbf{R})$ soient isomorphes, il faut et il suffit que $X$ et $Y$ soient homéomorphes.