Bài tập 18, § 4

Cho $X$ là một không gian thực compact.

a) Chứng minh rằng, với mỗi đồng cấu khác không $u : C(X; \mathbf{R}) \to \mathbf{R}$, tồn tại một điểm duy nhất $x \in X$ sao cho $u(f) = f(x)$ với mọi $f$ trong $C(X; \mathbf{R})$.

b) Cho $Y$ là một không gian thực compact khác. Chứng minh rằng, với mọi đồng cấu đại số $\mathbf{R}$ $v : C(Y; \mathbf{R}) \to C(X; \mathbf{R})$ ánh xạ phần tử đơn vị vào phần tử đơn vị, tồn tại một ánh xạ liên tục duy nhất $w : X \to Y$ sao cho $v(g) = g \circ w$ với mọi $g \in C(Y; \mathbf{R})$. Đặc biệt, $C(X; \mathbf{R})$ và $C(Y; \mathbf{R})$ đẳng cấu khi và chỉ khi $X$ và $Y$ đồng phôi.