Exercice 3, § 4

Soit $\Gamma$ un groupe simplement transitif d’homéomorphismes de $\mathbf{R}$, muni de la topologie de la convergence simple. Pour tout $x \in \mathbf{R}$, on désigne par $s_x$ l’élément de T tel que $s_x(0) = x$. Montrer que l’application $x \mapsto s_x$ est un homéomorphisme de $\mathbf{R}$ sur $\Gamma$ (utiliser le fait que si $s \in \Gamma$ est tel que $x < s(x)$ pour un $x \in \mathbf{R}$, alors $y < s(y)$ pour tout $y \in \mathbf{R}$); en déduire que $\Gamma$ est un groupe topologique isomorphe à $\mathbf{R}$ (utiliser X, p. 51, exerc. 17 a), X, p. 43, exerc. 10 et V, p. 10, th. 1).