Exercice 4, § 4

a) Soient X un espace compact, H un sous-espace vectoriel de $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ tel que la relation $u \in H$ entraîne $|u| \in H$. Pour qu’une fonction numérique $f$ continue dans X puisse être approchée uniformément par des fonctions de H, il faut et il suffit que, pour tout couple $(x, y)$ de points de X, la fonction $f$ satisfasse à toute relation linéaire $\alpha f(x) = \beta f(y)$ pour les couples $(\alpha, \beta)$ tels que $\alpha \beta \geq 0$ et $\alpha g(x) = \beta g(y)$ pour toute fonction $g \in H$. (Appliquer la prop. 2 de X, p. 34, en remarquant que l’image de H par l’application $u \mapsto (u(x), u(y))$ est, ou bien le plan $\mathbf{R}^2$ tout entier, ou bien une droite d’équation $\alpha X = \beta Y$ avec $\alpha \beta \geq 0$, ou enfin réduite au point $(0, 0)$).

b) Soient X un espace compact, H un ensemble de fonctions numériques continues dans X. Soit R la relation d’équivalence: « pour tout $u \in H$, $u(x) = u(y)$ ». Pour qu’une fonction numérique $f$ continue dans X puisse être approchée uniformément par des polynômes (resp. des polynômes sans terme constant) par rapport aux fonctions de H, il faut et il suffit que $f$ soit constante dans toute classe d’équivalence suivant R (resp. que $f$ soit constante dans toute classe d’équivalence suivant R et nulle dans l’ensemble où toutes les fonctions $u \in H$ s’annulent).