Bài tập 4, § 4

Cho X là một không gian compact và H là một không gian con vectơ của C(X; R) sao cho |u| ∈ H mỗi khi u ∈ H. Khi đó một hàm liên tục thực trị f trên X có thể được xấp xỉ đều bởi các hàm thuộc H nếu và chỉ nếu, với mỗi cặp x, y các điểm của X, hàm f thỏa mãn mọi quan hệ tuyến tính αf(x) = βf(y) trong đó (α, β) là những phần tử sao cho αβ ≥ 0 và αg(x) = βg(y) đối với mọi hàm g ∈ H. [Áp dụng Mệnh đề 2 của no. 1, nhận thấy rằng ảnh của H dưới ánh xạ u → (u(x) u(y)) là toàn bộ mặt phẳng R^2, hoặc một đường thẳng có phương trình αX = βY với αβ ≥ 0, hoặc nếu không thì chỉ gồm điểm duy nhất (0, 0).]