Exercice 5, § 4

Soient E un ensemble, H une partie fermée de $\mathscr{F}_u(E; \mathbf{R})$, formé de fonctions bornées et contenant les constantes; montrer que si la relation $u \in H$ entraîne $|u| \in H$, alors H est une algèbre. (Montrer que $u \in H$ entraîne $u^2 \in H$; pour cela, poser $M = \|u\|$, et appliquer le th. de Stone à l’ensemble $C_u$ des fonctions numériques $f$ continues dans l’intervalle $(-M, M)$ et telles que $f \circ u \in H$).