Bài tập 5, § 4

Cho X là một không gian compact và H là một tập hợp các hàm liên tục nhận giá trị thực trên X. Gọi R là quan hệ tương đương “u(x) = u(y) với mọi u ∈ H”. Khi đó một hàm liên tục nhận giá trị thực f trên X có thể được xấp xỉ đều bởi các đa thức (tương ứng, các đa thức không có số hạng hằng) theo các hàm của $H$ khi và chỉ khi $f$ là hằng trên mỗi lớp tương đương theo $R$ [tương ứng, khi và chỉ khi $f$ là hằng trên mỗi lớp tương đương theo $R$ và triệt tiêu tại mọi điểm x sao cho $u(x) = 0$ với mọi $u \in H$].