Exercice 6, § 4

Soit X un espace complètement régulier, et soit $\mathscr{C}^b(X; \mathbf{R})$ la sous-algèbre normée de $\mathscr{B}(X; \mathbf{R})$ formée des fonctions numériques continues et bornées dans X. Afin que toute sous-algèbre de $\mathscr{C}^b(X; \mathbf{R})$, séparant les points de X et contenant les fonctions constantes, soit dense dans $\mathscr{C}^b(X; \mathbf{R})$, il faut et il suffit que X soit compact. (Soit $\beta X$ le compactifié de Stone-Čech de X (IX, p. 9). Montrer que si $\beta X - X$ n’est pas vide, il y a des sous-algèbres non denses de $\mathscr{C}^b(X; \mathbf{R})$ séparant les points de X et contenant les fonctions constantes, en remarquant que $\mathscr{C}^b(X; \mathbf{R})$ s’identifie à $\mathscr{C}(\beta X; \mathbf{R})$).