Bài tập 6, § 4

Cho $X$ là một không gian hoàn toàn chính quy và gọi $C^\infty(X; \mathbf{R})$ là đại số con chuẩn của $B(X; \mathbf{R})$ gồm tất cả các hàm liên tục bị chặn nhận giá trị thực trên $X$. Để mọi đại số con của $C^\infty(X; \mathbf{R})$, tách các điểm của $X$ và chứa các hàm hằng, đều trù mật trong $C^\infty(X; \mathbf{R})$, điều kiện cần và đủ là $X$ compact. [Cho $\beta X$ là compact hóa Stone-Čech của $X$ (chương IX, § 1, Bài tập 7). Chỉ ra rằng nếu $\beta X - X$ không rỗng thì có những đại số con không trù mật của $C^\infty(X; \mathbf{R})$ tách các điểm của $X$ và chứa các hàm hằng, bằng cách nhận thấy rằng $C^\infty(X; \mathbf{R})$ có thể được đồng nhất với $C(\beta X; \mathbf{R})$.]