Exercice 7, § 4

Soit X un espace complètement régulier non compact.

a) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:

α) La sous-algèbre de $\mathscr{C}^b(X; \mathbf{R})$ formée des fonctions de la forme $c + f$, où c est une constante et $f$ a un support (IX, p. 46) compact, est dense dans $\mathscr{C}^b(X; \mathbf{R})$.

β) Si $\beta X$ est le compactifié de Stone-Čech de X, $\beta X - X$ est réduit à un seul point.

γ) Il n’existe qu’une seule structure uniforme d’espace précompact compatible avec la topologie de X.

δ) Si A, B sont deux parties fermées de X, normalement séparées (IX, p. 87, exerc. 15), alors un des deux ensembles A, B est compact.

ζ) Pour toute structure uniforme $\mathscr{U}$ sur X compatible avec la topologie de X et tout entourage V de $\mathscr{U}$, il existe un ensemble L, complémentaire d’une partie compacte de X, tel que $L \times L \subset V$.

θ) Il n’existe qu’une seule structure uniforme compatible avec la topologie de X.

(Remarquer que α) entraîne que X est localement compact, donc ouvert dans βX, et en déduire que α) entraîne β); pour voir que β) entraîne α), utiliser le th. de Weierstrass-Stone. Pour montrer que β) entraîne γ), utiliser le fait que la structure uniforme induite sur X par celle de βX est la plus fine des structures uniformes d’espace précompact compatibles avec la topologie de X. Pour prouver que γ) entraîne δ), utiliser l’exerc. 15 de IX, p. 87. Pour voir que δ) entraîne ζ), montrer d’abord que pour tout entourage V de U, il existe z ∈ X tel que V(z) ne soit pas compact; dans le cas contraire, X serait complet pour U et paracompact (II, p. 37, exerc. 9), donc normal; montrer alors à l’aide de δ) que X serait semi-compact (IX, p. 93, exerc. 13) et conclure à l’aide de II, p. 37, exerc. 6. Appliquer ensuite ce résultat à un entourage V défini par une équation f(x, x') ≤ 1 pour un écart continu f sur X, et déduire de δ) qu’il existe un ensemble L complémentaire d’une partie compacte de X et tel que L × L ⊂ V. Enfin, pour établir que ζ) entraîne θ), observer que tout ultrafiltre sur X est, ou bien convergent, ou bien plus fin que le filtre des complémentaires des parties relativement compactes de X).

b) Montrer qu’un espace X possédant les propriétés équivalentes de a) est weierstrassien (IX, p. 88, exerc. 20). (Utiliser l’exerc. 17 de IX, p. 87, ou observer que si X n’est pas weierstrassien, il existe une suite (x_n) de points de X sans valeur d’adhérence, et une application continue f de X dans {0, 1} telle que f(x_{2n}) = 0 et f(x_{2n+1}) = 1).

c) Soit Y un espace complètement régulier non compact. Montrer que le sous-espace X de βY, complémentaire d’un point de βY − Y, vérifie les conditions de a).