Bài tập 7, § 4

Cho $X$ là một không gian không compact, hoàn toàn chính quy. a) Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: α) Đại số con của $C^\infty(X; \mathbf{R})$ gồm các hàm có dạng $c + f$, trong đó $c$ là một hằng và $f$ có giá compact (Chương IX, § 4, no. 3), là trù mật trong $C^\infty(X; \mathbf{R})$. β) Nếu $\beta X$ là compact hóa Stone-Čech của $X$, thì $\beta X - X$ gồm một điểm duy nhất. γ) Chỉ có một tôpô đều trên $X$, tương thích với tôpô của nó, theo đó $X$ là tiền compact. δ) Nếu $A, B$ là hai tập con đóng tách rời hoàn toàn của $X$ (Chương IX, § 1, Bài tập 11) thì một trong hai tập $A, B$ là compact. ζ) Nếu $\mathscr{U}$ là một tôpô đều bất kỳ trên $X$ tương thích với tôpô của nó và nếu $V$ là một lân cận đều bất kỳ của $\mathscr{U}$, thì có một tập con $L$ của $X$ mà phần bù của nó là compact, sao cho $L \times L \subset V$. θ) Chỉ có một tôpô đều duy nhất trên $X$ tương thích với tôpô của nó. [Chú ý rằng α) kéo theo rằng $X$ là compact địa phương và do đó là mở trong $\beta X$, và vì thế chứng minh rằng $\alpha) \Longrightarrow \beta)$; để chứng minh rằng $\beta) \Longrightarrow \alpha)$ dùng định lý Weierstrass-Stone. Để chứng minh rằng $\beta) \Longrightarrow \gamma)$, dùng sự kiện rằng tôpô đều cảm sinh trên $X$ bởi tôpô đều của $\beta X$ là tôpô đều mịn nhất tương thích với tôpô của $X$, theo đó $X$ là tiền compact. Để chứng minh rằng $\gamma) \Longrightarrow \delta)$, dùng Chương IX, § 1, Bài tập 11. Để chứng minh rằng $\delta) \Longrightarrow \zeta)$, trước hết chứng minh rằng nếu $V$ là một lân cận đều bất kỳ của $\mathscr{U}$, thì tồn tại $z \in X$ sao cho $V(z)$ không compact; nếu không thì $X$ sẽ đầy đủ đối với $\mathscr{U}$ và paracompact (Chương II, § 4, Bài tập 9), do đó chuẩn; khi đó chứng minh với sự trợ giúp của δ) rằng $X$ sẽ đếm được compact (Chương IX, § 2, Bài tập 14), và cuối cùng dùng Chương

II, § 4, Bài tập 6. Sau đó áp dụng kết quả này cho một lân cận đều V được xác định bởi $f(x, x') \leq 1$, trong đó $f$ là một giả mêtric liên tục trên $X$, và suy ra từ $\delta$) rằng có một tập con $L$ của $X$, mà phần bù của nó là compact, sao cho $L \times L \subset V$. Cuối cùng, để thiết lập rằng $\zeta) \Longrightarrow \theta$), nhận xét rằng mọi siêu lọc trên $X$ hoặc hội tụ hoặc mịn hơn lọc gồm các phần bù của các tập con tương đối compact của $X$.

b) Chứng minh rằng một không gian $X$ thỏa mãn các điều kiện tương đương của a) là giả compact (Chương IX, § 1, Bài tập 22). [Dùng Bài tập 12 của Chương IX, § 1, hoặc nhận xét rằng nếu $X$ không giả compact, thì tồn tại một dãy $(x_n)$ các điểm của $X$ không có điểm tụ và một ánh xạ liên tục $f : X \to [0, 1]$ sao cho $f(x_{2n}) = 0$ và $f(x_{2n+1}) = 1$.]

c) Cho $Y$ là một không gian không compact, chính quy hoàn toàn. Chứng minh rằng không gian con $X$ của $\beta Y$ là phần bù của một điểm của $\beta Y - Y$ thỏa mãn các điều kiện của a).