Exercice 1, § 2

Soit $(A, e)$ une algèbre unifère complexe.

a) Pour une forme linéaire $\lambda \in A^*$ telle que $\lambda (e) = 1$, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Pour tout $x\in$ Ker($\lambda$ ), on a $x^2\in$ Ker($\lambda$ );

(ii) Pour tout $x\in A$, on a $\lambda (x^2) =\lambda (x)^2$;

(iii) Le noyau de $\lambda$ est un idéal à droite de A ;

(iv) La forme linéaire $\lambda$ est un morphisme unifère de A dans $\mathbf{C}$.

(Observer que $\lambda (x-\lambda (x)e) = 0$ pour tout $x\in A$.)

b) Soit $\lambda \in A^*$ une forme linéaire telle que $\lambda (1) = 1$ et telle que pour tout $x\in A$, on a $\lambda (x)\in$ Sp$_A(x)$. Soit $x\in$ Ker($\lambda$ ) tel que $\lambda (x^2)\not= 0$. Le spectre de $x$ n’est pas borné dans $\mathbf{C}$. (Pour $n\geqslant 2$ entier, considérer le polynôme $p\in \mathbf{C}[X]$ tel que $p(z) =\lambda ((ze-x)^n)$ pour tout $z\in \mathbf{C}$; observer que ses racines appartiennent au spectre de $x$ et minorer leur norme euclidienne en fonction de $|\lambda (x^2)|.$)

c) On suppose que A est une algèbre de Banach. Pour qu’une forme linéaire $\lambda$ sur A soit un morphisme unifère de A dans $\mathbf{C}$, il faut et il suffit que $\lambda (e) = 1$ et que $\lambda (x)\in$ Sp$_A(x)$ pour tout $x\in A$.