Bài tập 1, § 2

Cho $(A, e)$ là một đại số phức có đơn vị.

a) Đối với một dạng tuyến tính $\lambda \in A^*$ sao cho $\lambda (e) = 1$, các điều kiện sau là tương đương:

(i) Với mọi $x\in$ Hạt nhân($\lambda$ ), ta có $x^2\in$ Hạt nhân($\lambda$ );

(ii) Với mọi $x\in A$, ta có $\lambda (x^2) =\lambda (x)^2$;

(iii) Hạt nhân của $\lambda$ là một iđêan phải của A ;

(iv) Dạng tuyến tính $\lambda$ là một cấu xạ có đơn vị từ A vào $\mathbf{C}$.

(Nhận xét rằng $\lambda (x-\lambda (x)e) = 0$ với mọi $x\in A$.)

b) Cho $\lambda \in A^*$ là một dạng tuyến tính sao cho $\lambda (1) = 1$ và sao cho với mọi $x\in A$, ta có $\lambda (x)\in$ Phổ$_A(x)$. Cho $x\in$ Hạt nhân($\lambda$ ) sao cho $\lambda (x^2)\not= 0$. Phổ của $x$ không bị chặn trong $\mathbf{C}$. (Với $n\geqslant 2$ là số nguyên, xét đa thức $p\in \mathbf{C}[X]$ sao cho $p(z) =\lambda ((ze-x)^n)$ với mọi $z\in \mathbf{C}$; nhận xét rằng các nghiệm của nó thuộc phổ của $x$ và lấy chuẩn Euclid của chúng bị chặn dưới như một hàm của $|\lambda (x^2)|.$)

c) Giả sử rằng A là một đại số Banach. Để một dạng tuyến tính $\lambda$ trên A là một cấu xạ có đơn vị từ A vào $\mathbf{C}$, điều kiện cần và đủ là $\lambda (e) = 1$ và $\lambda (x)\in$ Phổ$_A(x)$ với mọi $x\in A$.