Exercice 11, § 2

Soient H un espace hilbertien de type dénombrable et $(f_n)_{n\geqslant 1}$ une base orthonormale de H. Soit A l’algèbre normée $\mathscr{L}(H)$. Soit $x\in A$ l’élément défini par $x(f_i) = 2^{-i}f_{i+1}$. Démontrer que $x$ est quasi–nilpotent, mais non nilpotent.