Exercice 12, § 2

Soient H un espace hilbertien de type dénombrable et $(f_n)_{n\geqslant 1}$ une base orthonormale de H. On définit les nombres $(\alpha_m)_{m\geqslant 1}$ par $\alpha_m=e^{-k}$ si $m$ est le produit de $2^k$ par un nombre impair. a) Soit $x\in \mathscr{L}(H)$ défini par $x(f_m) =\alpha_mf_{m+1}$ pour $m\geqslant 1$. Démontrer que $x$ n’est pas quasi-nilpotent. (Observer que

$\|x^n\|=$ sup$_m(\alpha_m\alpha_{m+1}. . . \alpha_{m+n-1})$,

et évaluer $\alpha_1\alpha_2. . . \alpha_{2^t-1}.)$

b) Soit $x_k\in \mathscr{L}(H)$ défini par $x_k(f_m) = 0$ si $m$ est le produit de $2^k$ par un nombre impair, et $x_k(f_m) =\alpha_mf_{m+1}$ sinon. Démontrer que $x_k$ est nilpotent et que $(x_k)$ converge vers $x$ quand $k$ tend vers $+\infty$.