Bài tập 12, § 2

Cho H là một không gian Hilbert kiểu đếm được và $(f_n)_{n\geqslant 1}$ là một cơ sở trực chuẩn của H. Các số $(\alpha_m)_{m\geqslant 1}$ được xác định bởi $\alpha_m=e^{-k}$ nếu $m$ là tích của $2^k$ với một số lẻ. a) Cho $x\in \mathscr{L}(H)$ được xác định bởi $x(f_m) =\alpha_mf_{m+1}$ với $m\geqslant 1$. Chứng minh rằng $x$ không lũy linh gần. (Nhận xét rằng

$\|x^n\|=$ sup$_m(\alpha_m\alpha_{m+1}. . . \alpha_{m+n-1})$,

và tính $\alpha_1\alpha_2. . . \alpha_{2^t-1}.)$

b) Cho $x_k\in \mathscr{L}(H)$ được xác định bởi $x_k(f_m) = 0$ nếu $m$ là tích của $2^k$ với một số lẻ, và $x_k(f_m) =\alpha_mf_{m+1}$ trong các trường hợp khác. Chứng minh rằng $x_k$ là lũy linh và rằng $(x_k)$ hội tụ tới $x$ khi $k$ tiến tới $+\infty$.