Exercice 14, § 2

Soit A une algèbre normée unifère complexe. Si $\|x^{-1}\|=\|x\|^{-1}$ pour tout élément inversible $x$ de A, on a $A =\mathbf{C}\cdot 1$. (Se ramener au cas où A est complète. Soit $x\in A$, à une distance $\alpha >0$ de $\mathbf{C}\cdot 1$. Si $\lambda_0\in \mathbf{C}$ est tel que $x-\lambda_0$ soit inversible, alors $x-\lambda$ est inversible pour $|\lambda -\lambda_0|< \alpha$. En déduire que le spectre de $x$ serait vide.)