Exercice 16, § 2

Soit A une algèbre de Banach unifère complexe. Soit $a$ un élément de A. On appelle spectre singulier de A l’ensemble des $\lambda \in \mathbf{C}$ tels que $a-\lambda e$ est un diviseur de zéro topologique à gauche et à droite dans A.

a) Montrer que le spectre singulier de A est contenu dans le spectre de A, et contient la frontière du spectre de A.

b) Soit $f\in \mathbf{C}[X]$ un polynôme. L’image par $f$ du spectre singulier de $a$ est le spectre singulier de $f(a)$.