Exercice 17, § 2

Tag 0274, permanent. Cite it as [Bourbaki, Tag 0274].

Théories spectrales, I, p. 158

Soit A une algèbre normée. Pour tout $x\in A$ , on pose :

$\lambda (x) =$ inf $_{y\not=0}\frac{\|xy\|}{\|y\|}\lambda '(x) =$ inf $_{y\not=0}\frac{\|yx\|}{\|y\|}$ .

a) On a

|\lambda (x)-\lambda (y)|\leqslant \|x-y\|,|\lambda '(x)-\lambda '(y)|\leqslant \|x-y\|

\lambda (x)\lambda (y)\leqslant \lambda (xy)\leqslant \|x\|\lambda (y),\lambda '(x)\lambda '(y)\leqslant \lambda '(xy)\leqslant \lambda '(x)\|y\|

b) L’ensemble des diviseurs de zéro topologiques à gauche (resp. à droite) dans A est fermé.

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