Exercice 19, § 2

Soient X un espace de Banach complexe et $x\in A =\mathscr{L}(X)$.

a) Si $x$ n’est pas inversible, alors $x$ est diviseur de zéro topologique à gauche ou à droite. (Envisager successivement les cas suivants :

$1^{\circ})x$ est non injectif ;

$2^{\circ})\overline{x(X)}\not= X$ ;

$3^{\circ})x$ est injectif, $x(X)$ est dense dans X et distinct de X.)

b) Si $x$ applique bicontinûment X sur un sous-espace vectoriel fermé de X distinct de X, ou si $x$ est non injectif et d’image X, alors $x$ est intérieur à l’ensemble des éléments non inversibles de A.