Exercice 2, § 2

Soit $n\geqslant 0$ un entier. Soit $A_n$ l’algèbre de Banach commutative complexe des fonctions $f: [0,1]\rightarrow \mathbf{C}$ admettant des dérivées continues dans $[0,1]$ jusqu’à l’ordre $n$, munie de la norme

$n$

$\|f\|=\sum k1$! sup$_{0\leqslant t\leqslant 1}|f^{(k)}(t)|$

$k=0$

(exemple 4 de I, p. 18). Montrer que $A_n$ est isomorphe à $A_m$ si, et seulement si, $n=m$. (Cependant, d’après l’exemple 1 de I, p. 144, ces algèbres de Banach ont toutes le même espace de caractères).