Bài tập 2, § 2

Cho $n\geqslant 0$ là một số nguyên. Gọi $A_n$ là đại số Banach giao hoán phức của các hàm $f: [0,1]\rightarrow \mathbf{C}$ có các đạo hàm liên tục trên $[0,1]$ đến cấp $n$, được trang bị chuẩn

$n$

$\|f\|=\sum k1$! sup$_{0\leqslant t\leqslant 1}|f^{(k)}(t)|$

$k=0$

(ví dụ 4 của I, p. 18). Bây giờ chứng minh rằng $A_n$ đẳng cấu với $A_m$ khi, và chỉ khi, $n=m$. (Tuy nhiên, theo ví dụ 1 của I, p. 144, các đại số Banach này đều có cùng không gian đặc trưng).