Exercice 22, § 2

Soit A une algèbre de Banach.

a) Soit S l’ensemble des suites bornées d’éléments de A, avec la norme $\|(x_n)\|=$ sup $\|x_n\|$. Soit R l’ensemble des $(x_n)\in S$ tels que $\|x_n\|$ tende vers 0. Alors S est une algèbre de Banach et R est un idéal bilatère fermé de S.

Soient $S'= S/R$ et $\varphi : S\rightarrow S'$ le morphisme canonique.

b) L’application $\theta$ de A dans $S'$ définie par $\theta (x) =\varphi (x, x, x, . . .)$ est un isomorphisme isométrique de A sur une sous-algèbre de $S'$. Tout diviseur de zéro topologique à gauche dans $S'$ est diviseur de zéro à gauche. Pour que $x\in A$ soit diviseur de zéro topologique à gauche, il faut et il suffit que $\theta (x)$ soit diviseur de zéro à gauche dans $S'$.

c) On suppose que A possède un élément unité. Démontrer qu’il existe une algèbre de Banach B et un isomorphisme isométrique de A sur une sous-algèbre de B telle qu’un élément de A soit non inversible si, et seulement si, son image dans B est un diviseur de zéro à gauche ou à droite. (Utiliser a) et les exerc. 19 et 21.)