Bài tập 22, § 2

Cho A là một đại số Banach.

(a) Cho S là tập hợp các dãy bị chặn của các phần tử của A, với chuẩn $\|(x_n)\|=$ sup $\|x_n\|$. Cho R là tập hợp các $(x_n)\in S$ sao cho $\|x_n\|$ tiến tới 0. Khi đó S là một đại số Banach và R là một iđêan hai phía đóng của S.

Cho $S'= S/R$ và $\varphi : S\rightarrow S'$ là cấu xạ chính tắc.

(b) Ánh xạ $\theta$ của A vào $S'$ được xác định bởi $\theta (x) =\varphi (x, x, x, . . .)$ là một đẳng cấu đẳng cự của A lên một đại số con của $S'$. Mọi ước không tôpô trái trong $S'$ đều là một ước không trái. Để $x\in A$ là một ước không tôpô trái, điều kiện cần và đủ là $\theta (x)$ là một ước không trái trong $S'$.

(c) Giả sử rằng A có một phần tử đơn vị. Chứng minh rằng tồn tại một đại số Banach B và một đẳng cấu đẳng cự của A lên một đại số con của B sao cho một phần tử của A là không khả nghịch khi và chỉ khi ảnh của nó trong B là một ước không trái hoặc phải. (Sử dụng a) và các Bài tập 19 và 21.)