Exercice 23, § 2

Soient A une algèbre normée et R son radical.

a) Si $x\in R$, alors $x$ est quasi-nilpotent. (On a Sp$'_A(x) =\{0\}$ et a fortiori Sp$'_{\widehat{A}}(x) =\{0\}.$)

b) Supposons que A est une algèbre de Banach. Soit I un idéal à gauche de A dont tous les éléments sont quasi-nilpotents. Alors $I\subset R$. (On peut supposer que A admet un élément unité. Si $x\in R$ et $a\in A$, on a Sp$_A(ax) =\{0\}$, donc $1-ax$ est inversible ; donc $x\in R$.)